Пояснительная записка Предлагаемый курс предназначен для учащихся

ч. 1

Лукина Галина Степановна

Законы сохранения в задачах по физике


Для учащихся, окончивших 9 класс

Пояснительная записка


Предлагаемый курс предназначен для учащихся летней физико-математической школы, окончивших 9 класс общеобразовательной школы.

Цель: обобщить и углубить полученные в школе знания по законам сохранения импульса и энергии

Задачи:

Научить составлять энергетические уравнения

Показать практическое применение законов сохранения к решению различных задач.

Научить приемам и методам энергетического подхода к решению различных задач.

Подготовить учащихся к изучению явлений, связанных с движением заряженного тела в различных полях.

Основные знания:

Знание законов динамики материальной точки

Знание сущности законов сохранения импульса и энергии

Основные умения:

Умение применять законы сохранения импульса и энергии к упругому и неупругому взаимодействию тел

Умение рассчитывать КПД процесса

Основные навыки:

Навык применения закона сохранения импульса к данному случаю

Навык применения закона сохранения энергии к данному случаю

Навык применения законов сохранения импульса и энергии к упругому и неупругому взаимодействию тел.


Тематическое планирование




п/п

Темы занятий

Количество часов



Импульс тела. Изменение импульса тела. Сила удара.

2



Закон сохранения импульса для замкнутых систем

2



Механическая энергия: потенциальная, кинетическая, полная механическая

2



Закон сохранения энергии в механических системах

2



Упругое взаимодействие тел. Законы сохранения в механических системах.

2



Неупругое взаимодействие тел. Применение законов сохранения к неупругому взаимодействию.

2



Расчет потери механической энергии. Переход механической энергии в другие виды энергии при неупругих взаимодействиях.

2



Расчет КПД теплового процесса.

2



Решение задач олимпиадного уровня на применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействию тел.

2



Проведение заключительного этапа Турнира юных физиков

2
Итого

20

Текст пособия


1. Закон сохранения импульса

Второй закон Ньютона может быть представлен в следующей форме: . Произведение называют импульсом тела. Импульс является векторной величиной и имеет направление вектора скорости.

Если имеется система материальных точек (тел), то импульс системы равен векторной сумме импульсов составляющих систему точек (тел) . Только тогда, когда скорости всех частиц направлены по одной прямой, импульсы можно складывать алгебраически, но с обязательным учетом их направления относительно выбранной координатной оси. Импульсы частиц, движущихся в противоположные стороны, следует брать с противоположными знаками.

Таким образом, второй закон Ньютона может быть записан в виде или . Произведение часто называют импульсом силы. Специального обозначения импульс силы не имеет.

При рассмотрении системы взаимодействующих тел (частиц) оказывается, что полный импульс системы обладает замечательным свойством - сохраняться во времени. Этот закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона.

Импульс системы не изменяется, то есть Р = 0, если:

а) система тел замкнута ( внешние силы отсутствуют);

б) сумма внешних сил равна 0;

внешние силы системы действуют на тела такое непродолжительное время, что их действием можно пренебречь.

Только в этих случаях суммарный импульс системы в любой момент времени имеет одно и то же значение и направление, хотя значения импульсов составляющих систему точек (или тел) могут меняться. В остальных случаях импульс системы тел не сохраняется.

Иными словами, импульсы тел замкнутой системы могут изменяться как угодно, но векторная сумма их остается постоянной во времени.

Особое внимание следует обратить на то, что изменение импульса можно найти либо только векторным (геометрическим) путем, либо методом проекций импульсов на выбранные координатные оси.

Рассмотрим соударение двух тел с массами m1 и m2, движущих­ся пo прямой без воздействия каких-либо сил. Пусть V1 и V2 - скорости этих тел до удара. Будем считать скорость положительной, если тело движется вправо, и отрицательной, если тело движется влево. В момент уда­ра на тела действуют только внутрен­ние силы; поэтому их суммарный им­пульс сохраняется. Пусть V1 и V2 - скорости тел после удара. Из закона сохранения импульса по­лучаем соотношение

m1 V1 + m2 V2 = m1 V1 + m2 V2 . Если удар абсолютно неупругий, то тела при ударе слипаются и движутся затем как одно целое. В этом случае скорость слипшихся тел равна V1=V2=V= . Если же удар абсолютно упругий или взаимодействие тел происходит с частичной потерей энергии, то рассчитать скорости тел после взаимодействия применением только одного закона сохранения импульса без энергетических соотношений невозможно.
2. Закон сохранения импульса и центр масс
Закону сохранения импульса можно придать другую форму, значительно упрощающую решение многих задач: полный импульс системы всегда равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Центром масс тела или системы тел (центром инерции) называют точку приложения равнодействующей всех составляющих сил тяжести. Это такая точка, которая движется так, как будто-то бы в ней сосредоточена вся масса тела. Иногда центр масс называют центром тяжести системы (или тела). Центр масс – едва ли не самая важная точка в системе тел или частей тела, так как приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения системы как целого.

Если VС = 0, то система как целое, покоится, хотя при этом тела относительно центра инерции могут двигаться самым произвольным образом. С помощью формулы закон сохранения импульса может быть сформулирован и таким образом: центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным (так как суммарный импульс системы остается величиной постоянной).

Рассчитать местоположение центра масс (центра инерции) можно несколькими способами:

- использованием основного свойства центра масс: суммарный момент всех составляющих сил тяжести относительно оси, проходящей через центр тяжести тела, всегда равен 0 (напомним, что моментом силы M называют произведение силы F на ее плечо L, M = FL. Под плечом подразумевают кратчайшее расстояние между точкой или осью вращения и направлением действующей силы. То есть плечо – это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на направление силы);

- использованием формул: Хс = .; Yс = . Zс = . Здесь xi, yi, zi – координаты центра масс каждой составляющей части тела с массой mi.



Центр масс системы тел обладает замечательными свойствами, знание которых значительно упрощает решение многих задач:

  1. Если расположение масс симметрично относительно какой-либо точки, то именно она и будет центром масс. Поэтому центр масс фигур и тел правильной геометрической формы совпадает с геометрическим центром.

  2. Положение центра масс не изменится, если, выделив какую-то часть рассматриваемой системы, сосредоточить всю массу этой части в одной точке – ее центре масс. Например, центр масс проволочного треугольника совпадает с центром масс системы трех точек, расположенных в серединах сторон этого треугольника.

  3. Если всю массу системы сосредоточить в центре масс, то импульс этой воображаемой точки равен импульсу всей системы, то есть полный импульс системы всегда равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Например, карандаш, стоящий на гладком (без трения) столе, падая, займет такое положение, при котором центр масс его не сдвинется в горизонтальном направлении (в этом направлении сумма сил равна 0, значит, импульс центра масс не изменится). То есть нижний конец карандаша сдвинется при падении в сторону на длину l/2.

  4. Если система не замкнута и на нее действуют внешние силы, то maC =  Fвнеш, ускорение центра инерции определяется равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе. Это - самое главное: центр масс движется так, будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Именно внешние, так как внутренние силы системы не влияют на движение ее центра масс. В качестве примера можно представить траекторию полета камня, брошенного под углом к горизонту. Это кривая, близкая к параболе (если сопротивление воздуха мало). Но если с такой же скоростью и под таким же углом к горизонту бросить палку, то разные точки ее будут описывать разные кривые. А вот центр масс опишет точно такую же траекторию, что и камень. Поэтому в задачах с баллистическими расчетами опорным является расчет траектории центра масс, а уж от него производят все остальные расчеты. Или такой пример: двое рабочих пытаются развернуть висящую на тросах плиту, прикладывая к ней в двух точках противоположно направленные силы. Как бы ни были близко расположены эти точки, плита начнет разворачиваться относительно центра масс, так как именно эта точка должна находиться в состоянии покоя.

  5. Если полный импульс системы относительно центра масс равен 0, то систему отсчета нужно связывать именно с центром масс. В такой системе движение должно выглядеть проще всего – система как целое покоится. Особенно удобен этот прием при рассмотрении замкнутых систем. Например, центральный упругий удар двух шаров. Ясно, что относительно центра масс после удара шары разлетаются с такой же скоростью, с какой они вначале сближались.


Рекомендации к решению задач по нахождению импульса системы или применению закона сохранения импульса

  1. Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо обязательно определить, для переходов из каких в какие состояния можно применить закон сохранения импульса. Каждое такое состояние обязательно изобразить на рисунке с указанием направления импульсов.

  2. Не указав направления осей выбранной координатной системы, начинать решение задачи нельзя. Часто обнаруживаются такие направления движения, в которых внешние силы не действуют. Чаще всего в отсутствии сил сопротивления таким направлением является горизонтальное направление, проекция сил тяжести на которое всегда равна 0. Связав с таким направлением одну из осей системы координат, например, ось Х, можно получить максимально упрощенное выражение закона сохранения импульса ( Р- Р) = 0.

  3. Закон сохранения импульса выполняется в любых инерциальных системах, но необходимо помнить, что импульс тела зависит от системы координат (!). Систему отсчета и систему координат целесообразно выбирать из соображений упрощения решения.

  4. В некоторых задачах оказывается удобным использование векторного равенства, в некоторых – в виде проекций моментов на координатные оси.

  5. Чтобы найти импульс системы тел или частиц, необходимо произвести векторное сложение их импульсов. Если же нужно найти импульс тела, различные точки которого обладают различными скоростями, необходимо разбить это тело мысленно на маленькие части (в пределе – бесконечно маленькие), а затем, опять-таки векторным способом, произвести сложение импульсов.


3. Теорема об изменении кинетической энергии

В механике принято различать кинетическую энергию, обусловленную движением тела, потенциальную энергию, определяемую взаимным расположением тел системы или частей одного и того же тела, и полную механическую энергию системы (то есть сумму кинетической и потенциальной энергий). Кинетическая энергия тела связана с движением тела и потому зависит от выбора системы отсчета. Потенциальная энергия имеет смысл только для таких систем, в которых силы взаимодействия консервативны, то есть зависят лишь от расстояний между телами или их частями. Соответственно и потенциальная энергия зависит от этих расстояний. А поскольку расстояния во всех системах отсчета одни и те же, потенциальная энергия не зависит от выбора системы отсчета.

Для расчета потенциальной энергии тела относительно какого-либо другого тела, необходимо вначале произвольно выбрать состояние, в котором потенциальную энергию тела можно считать равной 0 (нулевой уровень потенциальной энергии). Выбор нулевого уровня энергии диктуется только соображениями удобства расчетов. Обычно за нулевой уровень потенциальной энергии принимают состояние тела, при котором его энергия минимальна. Тогда в любом другом состоянии потенциальная энергия будет положительной. Так, потенциальная энергия тела, поднятого на высоту Н относительного поверхности Земли, принятой за нулевой уровень потенциальной энергии, равна Еп = mgH.

Для упругодеформированного тела относительно недеформированного состояния его, в котором энергия тела минимальна, , где k – коэффициент упругости (жесткость) упругого тела (пружины, например), Х – деформация (удлинение или уменьшение длины относительно недеформированного состояния).

Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия» существует очень тесная связь: изменение (приращение) кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, приложенных к этой точке:

А=Ек2–Ек1 или А = Ек.

Это утверждение носит название теоремы об изменении кинетической энергии в задачах механики. Меняться механическая энергия может по двум причинам: из-за наличия внешних сил (если работа этих сил не равна нулю); из-за наличия в замкнутой системе диссипативных сил (например, сил трения, сопротивления), при котором происходит переход части механической энергии во внутреннюю, тепловую энергию тел.

Если под действием внешних сил изменяется кинетическая энергия системы, то А или А = Ек, где А – работа внешних сил, действующих на тело или систему тел.

Если внутренние силы системы консервативны, то есть работа этих сил не зависит от формы траектории (например, силы упругости, силы тяжести), то


А = -Еп, где А – работа консервативных сил, ЕП – изменение потенциальной энергии системы. Так как ЕП = ЕП2 – ЕП1, то А = -(ЕП2 – ЕП1) = ЕП1 – ЕП2.

Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения. В частности, если система замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая энергия остается постоянной. Уменьшение механической энергии происходит под действием сил диссипативной природы, например, при неупругом ударе. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Однако есть примеры, в которых механическая энергия не уменьшается, а наоборот возрастает. К примерам такого рода относятся ситуации, когда газ совершает работу за счет своей внутренней энергии, живые организмы, перемещаясь, также совершают работу за счет внутренних энергетических ресурсов. Хорошо известны всем нам случаи, когда человек пытается только поддержать постоянной развиваемую им силу в отсутствие перемещения и вроде бы не совершает механической работы, но его мышцы испытывают постоянные сокращения и расслабления, приводящие к микроскопическим движениям. Поэтому-то мышцам и приходится совершать немалую работу в полном соответствии со стандартным ее определением.
4. Расчет механической работы

При вычислении работы необходимо учитывать, что формула работы А=FSСos применяется только при действии на тело постоянной силы F. Если же на тело действует переменная сила, то применять эту формулу на всем участке пути S уже нельзя. В таком случае все перемещение тела разбивают на бесконечно малые участки Si, в пределах каждого из которых действующую на тело силу Fi можно считать постоянной. Затем находят работу на каждом отдельном участке Аi = Fi Si Cos i и, суммируя, находят полную работу А=Аi=FiSiCosi. Если позволяет математическая подготовка, то суммирование производится математической операцией интегрирования.

При ограниченном числе участков, в пределах каждого из которых действующая на тело сила не меняется, полная работа может быть найдена алгебраической суммой работ на каждом отдельном участке: А = А123+… , где А1=F1S1Cos 1; А2=F2 S2Cos 2 ; А3=F3S3 Cos 3 и так далее.

В тех случаях, когда известен закон изменения силы от перемещения (или закон изменения проекции силы на какую-либо координатную ось от перемещения вдоль этой оси), работу можно найти графически, рассчитав площадь под линией графика F(x) в координатах (F, х) или F(s) в координатах (F,s).



Следует обратить внимание на то, что работа не совершается в случае, когда точка приложения действующей силы не перемещается относительно данной системы отсчета. Так, при движении бруска по поверхности стола сила трения, приложенная к бруску, совершает работу, а сила трения, приложенная к поверхности стола, работы не совершает.

Величина совершенной работы зависит от выбора системы отсчета. Ведь тело, движущееся в одной системе отсчета, может покоиться относительно другой системы. И еще один момент, на который часто не обращают внимания: считается, что работа силы трения всегда отрицательна. Не всегда. Она может быть и положительной. Все дело в выборе системы отсчета.




  1. Упругое и неупругое взаимодействие тел (соударение)

Рекомендуется начинать решение задач, в которых рассматривается упругое или неупругое взаимодействие тел, с применения закона сохранения импульса. Если удар абсолютно упругий и происходит без потери механической энергии, то к такому взаимодействию возможно применение и закона сохранения и превращения механической энергии. Если же взаимодействие неупругое, механическая энергия не сохраняется. Тогда, применяя закон сохранения и превращения энергии, необходимо обязательно учитывать энергетические потери.

1. Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел, при котором тела слипаются и движутся затем как одно целое со скоростью V. По закону сохранения импульса m1V1+ m2V2=(m1+m2)V. Скорость слипшихся в результате взаимодействия тел равна V=.

Но механическая энергия при таком взаимодействии не сохраняется. Часть ее, равная

Т=Ек1–Ек2, при этом теряется. Называется эта величина потерянной кинетичес­кой энергией.

Для неупругого взаимодействия применимы две теоремы Карно.
Первая теорема Карно

Потерянная кинетическая энер­гия равна энергии точки массой , которая движется со скоростью, равной разности ско­ростей точек до удара: . М называется в механике приведенной массой системы.
Вто­рая теорема Карно

Потерянная кинетическая энергия равна суммарной кинетической энер­гии тел с массами m1 и m2, движу­щихся с потерянными скоростями u1 и u2, равна . Здесь потерянные скорости равны соответственно u1=V-V1, u2=V-V2 .
2. Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар, то есть удар, происходящий без потери механической энергии. По определению, в этом случае, кроме суммарного импульса, сохраняется еще и суммарная кинетическая энергия:

В случае абсолютно упругого удара относитель­ные скорости тел до и после удара равны по величине и противополож­ны по направлению:



V1-V2= -(V1-V2).

При этом ; .

В частном случае, когда m1 = m2, эти формулы приобретают наиболее про­стой вид: V1 =V2; V2 =V1. Следовательно, в момент абсолютно упругого удара происходит обмен ско­ростями.

Рассмотрим частный слу­чай, когда масса m1 много меньше массы m2, то есть m1m2. Тогда, так как , , ,



, , .

Следовательно, второе тело не изме­нит своей скорости, а первое будет двигаться за вторым, отставая от него со скоростью, равной их относитель­ной скорости до удара.

Абсолютно упругий удар тел равной массы иногда удобно изображать на графи­ках движения тел, т.е. на графиках зависимости координат от времени.

3. На практике часто встреча­ются случаи, когда в момент удара тела не слипаются, но и их суммарная энергия не сохраняется. В этой ситуа­ции обычно принимают гипотезу Ньютона, согласно которой е(V1-V2 ) = -(V1-V2).

Здесь е некоторый безразмерный коэффициент, заключенный в про­межутке от 0 до 1 и определяемый обычно из эксперимента. Число е на­зывают коэффициентом восстанов­ления.

При е = 0 получается абсолют­но неупругий удар,

при е = 1 удар будет абсолютно упругим.
Обобщенная теорема Карно

Если u1 и u2 потерянные скорости, то величина потерянной энергии в об­щем случае вычисляется по формуле: .

При е =0 это утверждение известно нам как вторая теорема Карно;



при е =1 потери энергии вообще не про­исходит — удар абсолютно упругий.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1

  1. С какой силой давит на плечо ручной пулемет при стрельбе, если масса пули 10 г, ее скорость при вылете 800 м/с, а скорострельность пулемета 600 выстрелов в минуту?

  2. Определить силу удара футболиста по мячу, если мяч массой 700 г приобретает скорость 15 м/с, а длительность удара составляет 0,02 с.

  3. Какое усилие должен развить велосипедист, чтобы за 10 с движения изменить скорость с 18 км/ч до 54 км/ч при коэффициенте полезного действия педальной системы 60 %? Масса велосипеда вместе с велосипедистом 72 кг.

  4. Тело массой 2 кг движется по горизонтальному пути со скоростью 15 м/с. Через 10 с после начала действия силы, скорость становится равной 5 м/с и меняет направление на противоположное. Определить действующую на тело силу.

  5. Мяч массой 50 г ударяется о стенку перпендикулярно к ней со скоростью 20 м/с и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Определить силу удара, если длительность его 0,1 с.

  6. Мяч массой 50 г, летящий со скоростью 20 м/с по направлению к стенке под углом 300 к ее поверхности, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Определить силу удара мяча о стенку, если длительность его 0,1 с.

  7. Шарик массой 100 г, движущийся со скоростью 1 м/с, упруго ударяется о плоскость. Определить изменение импульса шарика, если направление скорости составляет с плоскостью угол равный а) 900 б) 300.

  8. Пластилиновый шарик массой 50 г, летящий со скоростью 20 м/с перпендикулярно к стенке, ударяется и прилипает к ней. Определить силу удара, если длительность его 0,1 с.

  9. Мяч свободно падает на пол с высоты 5 м и, ударившись о пол, отскакивает на высоту 3 м. Определить изменение импульса мяча, если масса его 60 г, а длительность взаимодействия с полом 0,1 с.

  10. Тело массой 2 кг движется по окружности. В одной точке скорость его равна 4 м/с, а в другой, через четверть оборота, 3 м/с. Определить изменение импульса тела.

Задание 2

  1. Снаряд, летящий со скоростью 15 м/с, разорвался на два осколка массами 6 кг и 14 кг. Скорость большего осколка стала равной 24 м/с без изменения направления движения. Определить скорость меньшего осколка.

  2. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 4 м/с, догоняет тележку массой 40 кг, движущуюся со скоростью 2 м/с, и запрыгивает на нее. С какой скоростью стала двигаться тележка вместе со стоящим на ней человеком?

  3. Два пластилиновых шара массами 600 г и 400 г движутся навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 3 м/с и после неупругого удара движутся вместе как единое целое. Определить скорость совместного движения шаров после удара.

  4. Снаряд массой 200 кг, имеющий в верхней точке параболической траектории скорость 300 м/с, разрывается на два осколка, больший из которых массой 120 кг полетел в прежнем направлении со скоростью 600 м/с. Определить скорость меньшего осколка.

  5. От двухступенчатой ракеты общей массой 1 т в момент достижения ею скорости 180 м/с отделилась вторая ступень массой 400 кг. Причем скорость ее стала равной 240 м/с. С какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты?

  6. Вагон массой 2,4 т, движущийся со скоростью 36 км/ч, догоняет другой вагон массой 4 т, движущийся со скоростью 4 м/с, и сцепляется с ним. С какой скоростью стали двигаться вагоны после сцепления?

  7. Из пушки массой М стреляют под углом  к горизонту снарядом массой m со скоростью V0. Определить скорость пушки после выстрела.

  8. Снаряд вылетает из орудия со скоростью V0 под углом  к горизонту. В верхней точке траектории снаряд разрывается на два равных осколка, причем скорости осколков непосредственно после разрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Первый осколок упал на расстоянии S от орудия в направлении выстрела. Определить место падения второго осколка, если известно, что он упал дальше первого.

  9. Шарик массой 10 г падает с высоты 2 м и упруго отражается от установленного на неподвижной тележке щита, наклоненного под углом 450 к горизонту. Определить скорость тележки после отражения шарика, если масса ее вместе со щитом 90 г.

Задание 3

  1. Человек массой 60 кг стоит на одном конце лодки, а мальчик массой 20 кг – на другом. Длина лодки 3 м. На какое расстояние переместится она по воде, когда пассажиры ее поменяются местами?

  2. На противоположных краях доски длиной 2 м и массой 15 кг, установленной на двух катках на гладкой горизонтальной поверхности, стоят два гимнаста, массы которых равны 45 кг и 60 кг. На какое расстояние переместится доска относительно первоначального положения, если гимнасты поменяются местами?

  3. Снаряд, летящий со скоростью 15 м/с, разорвался на два осколка массами 6 кг и 14 кг. Скорость большего осколка стала равной 24 м/с без изменения направления движения. Определить потерю кинетической энергии системы.

  4. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 4 м/с, догоняет тележку массой 40 кг, движущуюся со скоростью 2 м/с, и запрыгивает на нее. Определить энергию тележки с человеком после прыжка и потерю кинетической энергии системы.

  5. Два пластилиновых шара массами 600 г и 400 г движутся навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 3 м/с и после неупругого удара движутся вместе как единое целое. Определить потерю кинетической энергии системы.

  6. Снаряд массой 200 кг, имеющий в верхней точке параболической траектории скорость 300 м/с, разрывается на два осколка, больший из которых массой 120 кг полетел в прежнем направлении со скоростью 600 м/с. Определить потерю кинетической энергии системы.

  7. От двухступенчатой ракеты общей массой 1 т в момент достижения ею скорости 180 м/с отделилась вторая ступень массой 400 кг. Причем скорость ее стала равной 240 м/с. Определить потерю кинетической энергии системы.

  8. Вагон массой 2,4 т, движущийся со скоростью 36 км/ч, догоняет другой вагон массой 4 т, движущийся со скоростью 4 м/с, и сцепляется с ним. Определить потерю кинетической энергии системы.

  9. Мяч, масса которого 60 г, свободно падает с высоты 5 м и, ударившись о пол, отскакивает на высоту 3 м. количество выделившейся при ударе теплоты.

  10. Два шарика подвешены на тонких невесомых нитях так, что их по­верхности соприкасаются друг с другом. Меньший шар отводится на некоторый угол от первоначального положения и отпускается. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара, если масса большего 600 г, а удар - абсолютно упругий.


Задание 4

  1. Тело массой 5 кг брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Поднявшись до высоты 35 м, тело начало падать вниз. Определить работу сил сопротивления воздуха за время подъема.

  2. С какой высоты упала пружина жесткостью 50 н/см, если при ударе о землю она сжалась на 4 см? Масса пружины 100 г. Ось пружины при падении оставалась вертикальной.

  3. Определить тормозной путь автомобиля, движущегося по горизонтальной дороге со скоростью 36 км/ч, если коэффициент торможения равен 0,4.

  4. Велосипедист, разогнавшись до скорости 20 м/с, въезжает на гору с углом при основании 300. Какое расстояние сможет он проехать за счет приобретенной скорости, если коэффициент трения колес о дорогу равен 0,4?

  5. С горы длиной 20 м и углом при основании 300 съезжают санки и, пройдя по горизонтальной дороге 35 м, останавливаются. Определить коэффициент трения полозьев санок о снег, считая его постоянным на всем участке.

  6. Определите минимальную высоту, скатившись с которой тело сможет преодолеть «мертвую петлю» радиусом 25 см.

  7. Каскадер падает с высоты 50 м. К нему пристегнут резиновый шнур, второй конец которого закреплен в месте старта. Длина и жесткость шнура подобраны так, что скорость у земли гасится до 0. После того, как затухли колебания, каскадер повис на высоте 10 м над землей. Какова была максимальная скорость каскадера во время падения? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ выразить в единицах СИ с точностью до целых.

  8. Цепочка длиной 6 м и массой 3 кг лежит на столе, свешиваясь с него наполовину. Цепочку отпустили и она сползла на пол. Определить скорость цепочки в момент удара о пол. Какую работу нужно совершить по равномерному подъему этой цепочки на гладкий горизонтальный стол?

  9. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы выбрать из колодца глубиной 8 м и площадью поперечного сечения 2,5 м2 воду?

  10. Определить скорость пули массой 10 г, если при выстреле в ящик с песком массой 5 кг, висящий на подвесе длиной 1 м, ящик отклонился от вертикали на угол 300.

Задание 5

  1. Из ствола орудия массой 200 кг вылетает снаряд массой 1 кг со скоростью 500 м/с. На какое расстояние при этом откатится ствол, если коэффициент сопротивления движению равен 0,5?

  2. На какую высоту сможет подняться ракета массой 50 кг, если продукты сгорания топлива массой 10 кг вылетают со скоростью 800 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

  3. Мяч, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 450 к горизонту, ударяется о вертикальную стену, находящуюся на расстоянии 3 м от места бросания. Определить скорость мяча в момент удара и расстояние от стены до точки его приземления.

  4. Пуля, летящая горизонтально со скоростью 510 м/с, попадает в ящик, лежащий на горизонтальной поверхности на расстоянии 50 см от стены дома. Пробив ящик, пуля вылетает в том же направлении со скоростью 10 м/с. Ударит­ся ли ящик о стену дома, если коэффициент трения между ящиком и поверхно­стью равен 0,1, масса ящика 10 кг, а масса пули 10 г?

  5. Две пули, имеющие разные массы, но равные импульсы, попадают в одинаковые неподвижные шары. Первая пуля пробивает шар насквозь, а вторая, масса которой в 6 раз меньше массы шара, застревает в нем. После попадания пуль шары движутся с одинаковыми скоростями. Во сколько раз уменьшилась скорость первой пули после вылета из шара?

  6. Два пластилиновых шара, массы которых относятся как 1:3, подве­шены на одинаковых нитях и касаются друг друга. Шары развели в стороны на равные расстояния и отпустили одновременно. При ударе шары слиплись. Какая часть кинетической энергии шаров при этом превратилась в тепло?

  7. Нейтрон ударяется о неподвижное ядро атома углерода 6С12. Считая удар центральным и абсолютно упругим, определить, во сколько раз уменьшит­ся кинетическая энергия нейтрона при ударе?

  8. Определить отношение масс соударяющихся шаров, если после упругого удара одного из них о покоящийся другой шар шары разлетелись в противоположные стороны с равными по модулю скоростями.

  9. Молекула, летящая со скоростью 300 м/с перпендикулярно поверхности тяжелого поршня, испытывает с ним упругое столкновение. Поршень движется в ту же сторону, что и молекула, со скоростью 30 м/с. Какую часть энергии молекула потеряет при столкновении? Ответ выразить в процентах.

  10. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в 3 раза больше массы соломинки.


Вопросы для семинара

  1. Мальчик может бросить камень с груженой баржи или с легкой надувной резиновой лодки. В каком случае камень полетит дальше?

  2. Можно ли разогнать парусную лодку, направляя на парус поток воздуха из мощного вентилятора, находящегося в лодке? Что случится, если дуть мимо паруса?

  3. Можно ли, сидя на стуле и, не касаясь пола ногами, проехать через комнату?

  4. Каким образом космонавт, не связанный с кораблем в космосе, может вернуться на корабль?

  5. Мог ли Мюнхгаузен вытащить себя из болота за волосы?

  6. В вагоне равномерно движущегося поезда стоит человек и растягивает горизонтальную расположенную вдоль вагона пружину, один конец которой прикреплен к торцевой стене вагона. Поезд прошел путь S. Какую работу совершил человек в системе отсчета, связанной с землей?

  7. Когда покоящийся шар приобретает большую скорость от удара другого такого же шара: при упругом или неупругом ударе?

  8. В каком направлении станет перемещаться аэростат, если по свисающей лестнице начнет подниматься человек с постоянной скоростью относительно лестницы?

  9. Может ли совершить механическую работу сила трения покоя?

  10. Со дна водоема поднимается пузырек газа. Совершает ли он работу? Если нет, то почему? Если да, то какой величины?

  11. Зачем на скоростных автомобилях ставят двигатели значительно большей мощности, чем обычно?

  12. Для подъема грузов применяется как наклонная плоскость, так и наклонный транспортер – лента, движущаяся по роликам. Какое из этих устройств имеет больший коэффициент полезного действия?


Дополнительные задания

I.

  1. Стержень одинакового поперечного сечения состоит из двух равных по длине частей – свинцовой и железной. Общая длина стержня 1 м. Определить положение центра тяжести стержня. Плотность железа 7,8 г/см3, свинца – 11,3 г/см3.

  2. Два шара массами 2 кг и 3 кг укреплены на штанге длиной 20 см и массой 4 кг. Пренебрегая размерами шаров, определить центр тяжести системы.

  3. На доске длиной 4 м и массой 30 кг качаются два мальчика массами 40 кг и 30 кг. Где нужно подпереть доску, чтобы она находилась в равновесии?

  4. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l. Масса цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести находится ниже - цепочки или системы стержней?

  5. Тело массой 1 кг брошено под углом к горизонту. За время полета его импульс изменился на 10 кг м/с. Определить наибольшую высоту подъема.

  6. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, на участке пути 100 м набрал скорость 72 км/ч. Определить работу двигателя на этом участке, если масса его с грузом 1,8 т., а коэффициент трения 0,05.

  7. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груженые санки массой 30 кг вверх по горе с углом при основании 30, если коэффициент трения санок о снег равен 0,1, а длина горы составляет 20 м.

  8. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить скорость автомобиля с 18 км/ч до 54 км/ч, если масса автомобиля 2 т?

  9. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 8 см, приложив силу 100 Н?

  10. Клеть с грузом поднимается из шахты глубиной 180 м равноускоренно за 60 с. Определить мощность двигателя, если масса груженой клети 8 т, а КПД двигателя 80 %.

  11. Трамвай массой 30 т движется в гору, уклон которой составляет 1 см на каждый метр пути, за счет работы четырех электродвигателей мощностью по 55 кВт каждый. Какую скорость может развить трамвай при коэффициенте трения 0,05?

  12. Падающим с высоты 1,5 м грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на 2 см. Определить среднюю силу удара и его продолжительность, если масса груза 500 кг, а масса сваи во много раз меньше массы груза.

II.

  1. Мальчик на коньках разгоняется до скорости V и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он поднимется, если коэффициент трения , а угол наклона горки к горизонту .

  2. Человек массой m находится на корме лодки массой М, стоящей в пруду. Длина лодки L. На какое расстояние сдвинется лодка относительно берега, если человек перейдет с кормы на нос?

  3. По гладкой горизонтальной поверхности движется тележка массой М со скоростью V. В нее стреляют из ружья пулей массой m со скоростью U, которая, попав в тележку, застревает в ней. Какой станет скорость тележки после попадания в нее пули в случае: а) когда скорость пули направлена горизонтально, так же, как скорость тележки, б) когда скорость пули направлена вертикально вниз?

  4. Две лодки движутся по инерции параллельными курсами. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно опустили груз массой 30 кг. После этого лодка массой 300 кг, в которую переложили груз, остановилась, а скорость другой лодки V1 = 1,5 м/с не изменилась. С какой скоростью двигалась вторая лодка до того, как в нее переложили груз?

  5. Два тела известных масс перед столкновением имеют разные скорости, направленные под углом  друг к другу. Определить скорость движения слипшихся масс после неупругого удара.

  6. Из реактивной установки массой 0,5 т, находящейся первоначально в покое, в горизонтальном направлении выбрасываются последовательно две порции вещества по 25 кг каждая со скоростью 1 км/с относительно установки. Определить скорость установки после выброса второй порции вещества.

  7. Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгорания топлива в виде газа порциями одной и той же массы m со скоростью u относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты, которой она достигнет после выброса n-ой порции газа.

  8. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два груза массами m1 и m2. Найти ускорение этой системы, если блок невесомый, без трения и m1  m2.

  9. Два пластилиновых куска массами m1 и m2 перед столкновением имели скорости V1 и V2, направленные под углом  друг к другу. В результате неупругого взаимодействия куски слиплись. Определить скорость V образовавшегося куска. Внешними силами пренебречь.

  10. Определить импульс однородного диска, вращающегося вокруг своей оси. Чему равен импульс диска, который катится по горизонтальной поверхности, если скорость перемещения его центра равна V0?

  11. Две частицы, массы которых относятся как 1:2, движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями, которые относятся соответственно как 2:3. После действия одной и той же силы в течение одного и того же времени вторая частица удвоила скорость и поменяла направление на противоположное. Определить направление и скорость движения первой частицы после прекращения действия силы.

  12. В первом случае пружину жесткостью k и длиной в недеформированном состоянии l0 растягивают до длины l. В другом случае эту пружину разрезают на две части и одну из них растягивают до такой же длины l. Определить работу, совершенную в первом и во втором случаях.

  13. Когда тело двигалось вниз по наклонной плоскости, на высоте Н от ее основания оно имело скорость V, а когда оно двигалось вверх после упругого удара о стенку у основания плоскости, его скорость на той же высоте Н была равна V. Определить скорость тела при его ударе о стенку.

  14. Кабина лифта массой 3 т опускается с постоянной скоростью 10 м/с. Внезапно происходит полная остановка барабана, с которого сматывается трос. Найти максимальное удлинение троса, если коэффициент упругости для той его длины, при которой произошла остановка барабана, равен k = 1 МН/м.

  15. По гладкой горизонтальной плоскости стола равномерно со скоростью V скользит доска массой М с расположенной на ней небольшой шайбой массой m. После абсолютно упругого столкновения доски с вертикальной неподвижной стенкой шайба перемещается по доске на расстояние l. Определить коэффициент трения скольжения между шайбой и доской.

  16. Детский пистолет, который можно представить в виде пружины конечной массы, прикрепленной к неподвижной стенке, выстреливает шариком, сообщая ему скорость 14 м/с. Если выстрелить шариком вдвое большей массы, то скорость его будет 0,8 от этой скорости. Определить скорость вылета шарика утроенной массы.

  17. Т

    ело массой 0,5 кг, прикрепленное двумя пружинами к вертикальным стенкам, совершает колебания в горизонтальной плоскости. Величины двух последовательных смещений вправо и влево равны 10 см и 7 см. Коэффициент упругости каждой пружины равен 15 Н/м. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

  18. П
    реграда массой 10 кг, имеющая цилиндрический паз радиусом 0,2 м, расположена на горизонтальной плоскости. Тело массой 1 кг поднимается по цилиндрической по­верхности паза с начальной скоро­стью 3 м/с, направленной горизонтально. Определить скорость тела на высоте R. Трением пренебречь.

  19. Теплоход тянет баржу со скоростью 9 км/ч. При этом натяжение бук­сирного каната 120 кН, а мощность двигателя 400 кВт, Какова будет скорость буксира, если он будет плыть без баржи при той же мощности двигателя? Силу сопротивления считать пропорциональной скорости движения.

  20. Тело бросили с земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с. В мо­мент падения на землю оно имело скорость 9 м/с. Определить время движения тела, если сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела. Тело массой 1 кг бросили с земли вертикально вверх. Разность меж­ду скоростью бросания и скоростью падения тела на землю равна 1 м/с. Опреде­лить среднюю мощность, развиваемую силой сопротивления, за все время дви­жения, если сила сопротивления пропорциональна скорости движения.

  21. Лягушка массой m сидит на листе кувшинки, масса которого в 3 раза меньше массы лягушки. С какой минимальной скоростью должна прыгнуть лягушка, чтобы перелететь этот лист, длина которого L?

  22. Снаряд вылетает из орудия со скоростью V0 под углом  к горизонту. В верхней точке траектории снаряд разрывается на два равных осколка, причем скорости осколков непосредственно после разрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Первый осколок упал на расстоянии S от орудия в направлении выстрела. Определить место падения второго осколка, если известно, что он упал дальше первого.

ч. 1